Задачі

Тіла обертання. Приклади задач

№1. ABCD – трапеція, описана навколо кола. AB=CD; AD=8; BC=2. Знайти об’єм тіла, утвореного шляхом обертання трапеції навколо більшої основи.

Розв’язання

1) , де  – радіус,   – висота Знайдемо .   ,  тоді  . . 2) ;   – радіус,  – висота . Тоді . Відповідь: .

№2. Трикутник зі сторонами 4 см; 13 см; 15 см  обертається навколо меншої сторони.

Знайти: 1) площу поверхні тіла обертання;

                 2) об’єм тіла обертання.

Розв’язання (див. мал. 3)

1)	, де   і   – площі бічних поверхонь конусів. . Знайдемо  з :  ;  ;  .
2)	;  де  і   – об’єми конусів.  ;  .

Відповідь:   .

№3.  – ромб, , . Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням ромба навколо осі, що проходить через вершину  перпендикулярно діагоналі.

       

Розв’язання

Використовуючи симетрію відносно площини більшого круга, обчислимо спочатку об’єм зрізаного конуса, віднімемо об’єм конуса з твірною , потім збільшимо цю величину вдвічі.

1) ;

;  тоді  .

З  :        (1)

  (2)

    (3)

Підставимо значення (1), (2) і (3):

 .

2)  .

.

Врахувавши симетрію, маємо: .

Відповідь:  .